х <под> п представлява популацията на вида. За да използвате уравнението, като започнете с фиксирана стойност на г и първоначална стойност на х <под> 0. След това можете да стартирате уравнението итеративно да се получат стойностите на х <под> 1, х <под> 2, х <под> 3, по целия път до х <под> п.
<Р> Както май работил с уравнението в началото на 1970 г. той започва да се объркващи резултати. Когато дългата параметър R остава ниско, всичко е наред - населението уреден до една стойност. Но когато параметъра шофиране пропълзя по-високо и по-високо, резултатите са по цялото място.
<Р> Може да се е консултирал с Джеймс Yorke, приятел и професор по математика в Университета на Мериленд. Горе-долу по същото време, Yorke беше виждал хартия Лоренц в списанието на атмосферния науки и смята, че е възможно да има връзка между времето и променящите животинските популации. Той взе логистичната разлика уравнение и да го прокара чрез своите крачки.
<Р> Той започва с ниски стойности на R, точно както трябваше май, а след това той да тръгва по-високи и по-високи. Докато г остава под 3.0, х <под> п сближили до една стойност. Но когато той постави г равна на 3,0, х <под> п колебае между две стойности. На карта или диаграма, това се появява като един ред се раздели на два клона - бифуркация. Yorke държат като стойността на г дори по-високи. Докато го правеше, х <под> н имали допълнителни разклонения, колебания между четири стойности, а след осем, след това 16. Когато параметърът шофиране равняваше 3,569945672, х <под> п нито пакетна нито колебае - той става напълно случайна. И когато г хит стойности по-високи, отколкото 3,569945672, х <под> п проявява пълна случайност, белязан от " " прозорци; на стабилност.
<р> През 1975 г. Yorke и съавтор TY Li обобщи своите констатации в " Период Three Предполага Chaos, " епохален, че представи на света понятието " " хаос; и " " хаотично; поведение. Както той мина през по математика на логистичната разлика уравнение, той потвърди това, което вече беше открил Поанкаре и Лоренц - че дори простите системи, управлявани от относително прости уравнения могат да се произвеждат изключително сложна, непредсказуемо поведение. Но той също така зърна ред в своите бифуркационни диаграми. Когато ги разгледа отблизо, той можеше да види модели и повторяемост. Други учени от деня, като Беноа Манделброт, виждаха подобни неща.
Fractals
<р> Ако разгледате отблизо бифуркация диаграма, вие
Извличане на знание
